自動更新で発生したエラーは、自動更新を行う Update メソッドおよび UpdateAsync メソッドからは取得できません。
UpdateComplete イベントで取得したイベントデータの Error プロパティからエラー情報を取得します。
自動更新がエラーなく正常に完了した場合、Error プロパティは null 参照(Visual Basic では Nothing)を返します。

下記のコードでは、ボタン押下で自動更新を行った場合のエラー取得の例を紹介しています。
[Visual Basic]
Imports GrapeCity.Win.JPAddress

Private Sub Form_Load(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MyBase.Load
    AddHandler GcJPAddress1.UpdateCompleted, AddressOf GcJPAddress1_UpdateCompleted
End Sub

Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.Click
    ' 辞書ファイルを更新します。
    GcJPAddress1.Update("authentication code")

    ' 非同期的で更新を行う場合です
    ' GcJPAddress1.UpdateAsync("authentication code")
End Sub

Private Sub GcJPAddress1_UpdateCompleted(ByVal sender As System.Object, ByVal e As UpdateCompletedEventArgs)
    If (e.Error Is Nothing) Then
        ' 更新が成功した場合は、e.ErrorはNothingを返します。
        MessageBox.Show("更新成功")
    Else
        MessageBox.Show(e.Error.Message)
    End If
End Sub

[C#]
using GrapeCity.Win.JPAddress;

private void Form1_Load(object sender, EventArgs e)
{
    gcJPAddress1.UpdateCompleted += new EventHandler(gcJPAddress1_UpdateCompleted);
}

private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
    // 辞書ファイルを更新します。
    gcJPAddress1.Update("authentication code");

    // 非同期的に更新を行う場合です。
    // gcJPAddress1.UpdateAsync("authentication code");

}

private void gcJPAddress1_UpdateCompleted(object sender, UpdateCompletedEventArgs e)
{
    if (e.Error == null)
    {
        // 更新が成功した場合は、e.Errorはnullを返します。
        MessageBox.Show("更新成功");
    }
    else
    {
        MessageBox.Show(e.Error.Message);
    }
}