CalendarGridには、セルの値をドラッグ＆ドロップで移動する機能は用意されていませんが、GcCalendarGridのMouseDown、DragDrop、DragOverイベントを使用することで実現することが可能です。
アポイントメント型セル(AppointmentCell)や結合されたセルを移動する場合には、セルの値と一緒に結合されたセルの数も移動する必要があります。

[Visual Basic]
Imports GrapeCity.Win.CalendarGrid

Private Sub Form1_Load(sender As Object, e As EventArgs) Handles MyBase.Load
　　' セル型を設定します。
　　Dim appointmentCellType As New CalendarAppointmentCellType()

　　' テンプレートを設定します。
　　Dim template As New CalendarTemplate()
　　template.ColumnHeaderRowCount = 2
　　template.RowCount = 2
　　template.ColumnHeader.Rows(0).Cells(0).DateFormat = "{YearMonth}"
　　template.ColumnHeader.Rows(0).Cells(0).AutoMergeMode = AutoMergeMode.Horizontal
　　template.ColumnHeader.Columns(0).Width = 20
　　template.ColumnHeader.Rows(1).Cells(0).DateFormat = "{Day}"

　　template.Content.Rows(0).Cells(0).Name = "myCell1"
　　template.Content.Rows(0).Cells(0).CellType = appointmentCellType.Clone()
　　template.Content.Rows(0).Cells(0).CellStyleName = "defaultStyle"
　　template.Content.Rows(1).Cells(0).Name = "myCell2"
　　template.Content.Rows(1).Cells(0).CellType = appointmentCellType.Clone()
　　template.Content.Rows(1).Cells(0).CellStyleName = "defaultStyle"

　　GcCalendarGrid1.Template = template

　　' カレンダーの表示形式を設定します。
　　Dim listView As New CalendarListView()
　　listView.DayCount = 30
　　GcCalendarGrid1.CalendarView = listView

　　GcCalendarGrid1.AllowDrop = True

　　AddHandler GcCalendarGrid1.MouseDown, AddressOf GcCalendarGrid1_MouseDown
　　AddHandler GcCalendarGrid1.DragDrop, AddressOf gcCalendarGrid1_DragDrop
　　AddHandler GcCalendarGrid1.DragOver, AddressOf GcCalendarGrid1_DragOver

　　' サンプルデータを作成します。　
　　Dim today As DateTime = DateTime.Today
　　GcCalendarGrid1.Content(today).Rows(1).Cells(0).Value = "サンプルデータ"
　　GcCalendarGrid1.Content(today).Rows(1).Cells(0).ColumnSpan = 5
　　GcCalendarGrid1.ScrollIntoView(today)
End Sub

Private Sub GcCalendarGrid1_MouseDown(sender As Object, e As MouseEventArgs)
　　Dim gcCalendarGrid = DirectCast(sender, GcCalendarGrid)
　　Dim hitTestInfo As CalendarHitTestInfo = gcCalendarGrid.HitTest(New Point(e.X, e.Y))
　　If hitTestInfo.HitTestType = CalendarHitTestType.Content Then
　　　　Dim sourceCellPosition As CalendarCellPosition = hitTestInfo.CellPosition
　　　　gcCalendarGrid.DoDragDrop(sourceCellPosition, DragDropEffects.Move)
　　End If
End Sub

Private Sub gcCalendarGrid1_DragDrop(sender As Object, e As DragEventArgs)
　　Dim gcCalendarGrid = TryCast(sender, GcCalendarGrid)

　　Dim clientPoint As Point = gcCalendarGrid.PointToClient(New Point(e.X, e.Y))
　　Dim hitTestInfo As CalendarHitTestInfo = gcCalendarGrid.HitTest(New Point(clientPoint.X, clientPoint.Y))

　　Dim sourceCellPosition As CalendarCellPosition = DirectCast(e.Data.GetData(GetType(CalendarCellPosition)), CalendarCellPosition)
　　Dim destCellPosition As CalendarCellPosition = hitTestInfo.CellPosition

　　If sourceCellPosition <> destCellPosition Then
　　　　MoveCellValue(gcCalendarGrid, sourceCellPosition, destCellPosition)
　　End If
End Sub

Private Sub MoveCellValue(gcCalendarGrid As GcCalendarGrid, source As CalendarCellPosition, dest As CalendarCellPosition)
　　' 同じ行の場合にだけ、セルの値を移動します。
　　If dest.Scope = CalendarTableScope.Content And dest.RowIndex = source.RowIndex Then
　　　　' 値と結合セルの数を移動します。
　　　　gcCalendarGrid.Content(dest.Date).Rows(dest.RowIndex).Cells(dest.ColumnIndex).Value = gcCalendarGrid.Content(source.Date).Rows(source.RowIndex).Cells(source.ColumnIndex).Value
　　　　gcCalendarGrid.Content(dest.Date).Rows(dest.RowIndex).Cells(dest.ColumnIndex).ColumnSpan = gcCalendarGrid.Content(source.Date).Rows(source.RowIndex).Cells(source.ColumnIndex).ColumnSpan
　　　　' 元のセルを初期化します。
　　　　gcCalendarGrid.Content(source.Date).Rows(source.RowIndex).Cells(source.ColumnIndex).Value = Nothing
　　　　gcCalendarGrid.Content(source.Date).Rows(source.RowIndex).Cells(source.ColumnIndex).ColumnSpan = 1

　　　　' 移動先のセルを現在のセルに設定します。
　　　　gcCalendarGrid.CurrentCellPosition = New CalendarCellPosition(dest.Date, dest.RowIndex, dest.ColumnIndex)
　　End If
End Sub

Private Sub GcCalendarGrid1_DragOver(sender As Object, e As DragEventArgs)
　　e.Effect = DragDropEffects.Move
End Sub

[C#]
using GrapeCity.Win.CalendarGrid;

private void Form1_Load(object sender, EventArgs e)
{
　　// セル型を設定します。
　　var appointmentCellType = new CalendarAppointmentCellType();

　　// テンプレートを設定します。
　　var template = new CalendarTemplate();
　　template.ColumnHeaderRowCount = 2;
　　template.RowCount = 2;
　　template.ColumnHeader.Rows[0].Cells[0].DateFormat = "{YearMonth}";
　　template.ColumnHeader.Rows[0].Cells[0].AutoMergeMode = AutoMergeMode.Horizontal;
　　template.ColumnHeader.Columns[0].Width = 20;
　　template.ColumnHeader.Rows[1].Cells[0].DateFormat = "{Day}";

　　template.Content.Rows[0].Cells[0].Name = "myCell1";
　　template.Content.Rows[0].Cells[0].CellType = appointmentCellType.Clone();
　　template.Content.Rows[0].Cells[0].CellStyleName = "defaultStyle";
　　template.Content.Rows[1].Cells[0].Name = "myCell2";
　　template.Content.Rows[1].Cells[0].CellType = appointmentCellType.Clone();
　　template.Content.Rows[1].Cells[0].CellStyleName = "defaultStyle";

　　gcCalendarGrid1.Template = template;

　　// カレンダーの表示形式を設定します。
　　var listView = new CalendarListView();
　　listView.DayCount = 30;
　　gcCalendarGrid1.CalendarView = listView;

　　gcCalendarGrid1.AllowDrop = true;
　　gcCalendarGrid1.MouseDown += gcCalendarGrid1_MouseDown;
　　gcCalendarGrid1.DragDrop += gcCalendarGrid1_DragDrop;
　　gcCalendarGrid1.DragOver += gcCalendarGrid1_DragOver;

　　// サンプルデータを作成します。　
　　var today = DateTime.Today;
　　gcCalendarGrid1.Content[today].Rows[1].Cells[0].Value = "サンプルデータ";
　　gcCalendarGrid1.Content[today].Rows[1].Cells[0].ColumnSpan = 5;
　　gcCalendarGrid1.ScrollIntoView(today);

}

void gcCalendarGrid1_MouseDown(object sender, MouseEventArgs e)
{
　　var gcCalendarGrid = sender as GcCalendarGrid;
　　CalendarHitTestInfo hitTestInfo = gcCalendarGrid.HitTest(new Point(e.X, e.Y));
　　if (hitTestInfo.HitTestType == CalendarHitTestType.Content)
　　{
　　　　CalendarCellPosition sourceCellPosition = hitTestInfo.CellPosition;
　　　　gcCalendarGrid.DoDragDrop(sourceCellPosition, DragDropEffects.Move);
　　}
}

void gcCalendarGrid1_DragDrop(object sender, DragEventArgs e)
{
　　var gcCalendarGrid = sender as GcCalendarGrid;

　　Point clientPoint = gcCalendarGrid.PointToClient(new Point(e.X, e.Y));
　　CalendarHitTestInfo hitTestInfo = gcCalendarGrid.HitTest(new Point(clientPoint.X, clientPoint.Y));

　　CalendarCellPosition sourceCellPosition = (CalendarCellPosition)e.Data.GetData(typeof(CalendarCellPosition));
　　CalendarCellPosition destCellPosition = hitTestInfo.CellPosition;

　　if (sourceCellPosition != destCellPosition)
　　{
　　　　MoveCellValue(gcCalendarGrid, sourceCellPosition, destCellPosition);
　　}
}

private void MoveCellValue(GcCalendarGrid gcCalendarGrid, CalendarCellPosition source, CalendarCellPosition dest)
{
　　// 同じ行の場合にだけ、セルの値を移動します。
　　if (dest.Scope == CalendarTableScope.Content && dest.RowIndex == source.RowIndex)
　　{
　　　　// 値と結合セルの数を移動します。
　　　　gcCalendarGrid.Content[dest.Date].Rows[dest.RowIndex].Cells[dest.ColumnIndex].Value = gcCalendarGrid.Content[source.Date].Rows[source.RowIndex].Cells[source.ColumnIndex].Value;
　　　　gcCalendarGrid.Content[dest.Date].Rows[dest.RowIndex].Cells[dest.ColumnIndex].ColumnSpan = gcCalendarGrid.Content[source.Date].Rows[source.RowIndex].Cells[source.ColumnIndex].ColumnSpan;
　　　　// 元のセルを初期化します。
　　　　gcCalendarGrid.Content[source.Date].Rows[source.RowIndex].Cells[source.ColumnIndex].Value = null;
　　　　gcCalendarGrid.Content[source.Date].Rows[source.RowIndex].Cells[source.ColumnIndex].ColumnSpan = 1;

　　　　// 移動先のセルを現在のセルに設定します。
　　　　gcCalendarGrid.CurrentCellPosition = new CalendarCellPosition(dest.Date, dest.RowIndex, dest.ColumnIndex);
　　}
}

void gcCalendarGrid1_DragOver(object sender, DragEventArgs e)
{
　　e.Effect = DragDropEffects.Move;
}