HTML要素のdragoverイベントとdropイベントで、既定の処理をキャンセルして独自の処理を実行することで、そのHTML要素にドラッグ＆ドロップされたファイルの情報を取得することができます。
下記のサンプルでは、FlexGridにファイルをドロップすると、ドロップされたファイル名をデータソースに追加して、ファイル名の一覧を表示しています。

◎参考情報

• ドラッグ＆ドロップ - DragDrop | MDN
• Web アプリケーションからファイルを扱う | MDN

サンプル