ノードをダブルクリックして編集状態にした後、フォーカスを１行下へ移動して再びそのノードへフォーカスを戻します。次いでMoveメソッドを用いて１行下に移動※しようとすると、２行下に移動してしまいます。

※ c1TreeView1.Nodes.Move(index, index + 1);

Moveメソッドの実行コードの前後を、BeginUpdate／ EndUpdateメソッドで囲みます。

        private void C1Button_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            //１行下のノードに移動
            C1TreeNode[] nodes = c1TreeView1.SelectedNodes;
            if((nodes == null) || (nodes.Length == 0))
            {
                return;
            }
            else
            {
                int index = c1TreeView1.Nodes.IndexOf(nodes[0]);
                if(index != -1)
                {
                    if(index + 1 = c1TreeView1.Nodes.Count)
                    {
                        return;
                    }
                    //回避策(1/2)
                    c1TreeView1.BeginUpdate();
                    c1TreeView1.Nodes.Move(index, index + 1);
                }
                nodes[0].Selected = true;
                //回避策(2/2)
                c1TreeView1.EndUpdate();
            }
        }